spfpХранение и переработка сельхозсырьяStorage and Processing of Farm Products2072-96692658-767XРОСБИОТЕХ10.36107/spfp.2025.4.672spfp-672Research ArticleПРОЕКТИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОДУКТОВ ПИТАНИЯ НОВОГО ПОКОЛЕНИЯDESIGNING AND MODELLING THE NEW GENERATION FOODSКомпьютерное моделирование процесса распылительной сушки молока при конвективно-радиационном энергоподводеComputer Modeling of Milk Spray Drying under Combined Convective and Radiative Heatinghttps://orcid.org/0000-0001-8569-0896ОрешинаМарина НиколаевнаOreshinaMarina Nikolaevna

Доктор технических наук, профессор Кафедра прикладной информатики и информационной безопасности РЭУ им. Г. В. Плеханова

РИНЦ SPIN-код :3300-7204

Author ID:400881

ORCID - 0000-0001-8569-0896

Doctor of Technical Science, Professor of the Department of Applied Informatics and Information Security, Plekhanov Russian University of Economics.

Address: Plekhanov Russian University

of Economics, 36 Stremyanny Lane,

Moscow, 117997, Russian Federation.

E-mail: oreshina.mn@rea.ru

РИНЦ SPIN-код :3300-7204,

Author ID:400881

ORCID - 0000-0001-8569-0896

oreshina.mn@rea.ruhttps://orcid.org/0000-0001-8532-9320МалазиСамуэль АлиMalaziSamuel Ali

Кандидат  технических наук, старший преподаватель кафедры  пищевых технологий и биоинженерии РЭУ им. Г. В. Плеханова

SPIN-код: 4431-5503,

Author ID: 960365

ORCID 0000-0001-8532-9320

PhD in Technical Sciences, Senior lecturer of the Department of Food Technologies and Bioengineering, Plekhanov Russian University of Economics.

Address: Plekhanov Russian University

of Economics, 36 Stremyanny Lane,

Moscow, 117997, Russian Federation.

E-mail: malazi.sa@rea.ru

SPIN-код:4431-5503,

Author ID: 960365

ORCID 0000-0001-8532-9320

malazi.sa@rea.ruРоссийский экономический университет имени Г. В. Плеханова (РЭУ им. Г.В. Плеханова)РоссияPlekhanov Russian University of EconomicsRussian FederationРоссийский экономический университет имени Г. В. ПлехановаРоссияPlekhanov Russian UniversityRussian Federation2025070220263347790Copyright © Орешина М.Н., Малази С., 20262026Орешина М.Н., Малази С.Oreshina M.N., Malazi S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.spfp-mgupp.ru/jour/article/view/672Введение

Введение: Распылительная сушка молока является ключевой технологической операцией, определяющей качество, стабильность и энергоэффективность производства сухих молочных продуктов. Несмотря на широкое применение CFD-моделирования, большинство существующих моделей недостаточно учитывают внутренние структурные преобразования капли и влияние комбинированного конвективно-радиационного энергоподвода на кинетику тепло- и массопереноса. Эти факторы ограничивают прогностическую точность расчетов и возможности оптимизации режимов сушки.

Цель

Цель: Разработка и численная реализация CFD-ориентированной математической модели распылительной сушки молока, позволяющей описывать изменение температуры и влагосодержания капли при конвективно-радиационном энергоподводе и определять рациональные параметры технологического режима.

Материалы и методы

Материалы и методы: Модель основана на системе дифференциальных уравнений теплопроводности, диффузии влаги и кинетического уравнения структурных изменений частицы. Численное решение реализовано на языке Python в среде PyCharm с использованием библиотек SciPy, NumPy и Matplotlib. Расчеты выполнены для одиночной капли молока при различных значениях удельного теплового потока в диапазоне 0,000156–0,000273 Дж и времени обработки 120 с. Структурные и морфологические изменения учитывались посредством уточняющего коэффициента K₁.

Результаты

Результаты: Получены зависимости температуры поверхности капли и концентрации влаги от уровня энергоподвода. Установлено, что увеличение теплового потока приводит к росту температуры поверхности с 331 до 360 К, однако не обеспечивает пропорционального ускорения обезвоживания. Во всех исследованных режимах конечное влагосодержание достигает 4,9–5,1 %. Введение структурного коэффициента K₁ позволило корректно описать замедление диффузии влаги на поздних стадиях сушки, связанное с формированием поверхностного слоя.

Выводы

Выводы: Применение повышенных уровней энергоподвода нецелесообразно с точки зрения энергоэффективности и может приводить к избыточной термической нагрузке без существенного выигрыша в скорости сушки. Разработанная модель может быть использована для оптимизации режимов распылительной сушки, проектирования сушильного оборудования и создания цифровых двойников технологических процессов обезвоживания пищевых эмульсий и суспензий.

Introduction

Introduction: Spray drying is a critical unit operation in milk powder production, strongly affecting product quality, storage stability, and process energy efficiency. Although computational fluid dynamics (CFD) has been widely applied to drying analysis, many existing models do not adequately capture internal droplet structural transformations or the effect of combined convective and radiative heating on heat and mass transfer kinetics. As a result, their predictive capability and usefulness for process optimization remain limited.

Purpose

Purpose: To develop and numerically implement a CFD-oriented mathematical model of milk spray drying that describes the evolution of droplet temperature and moisture content under combined convective and radiative heating and identifies rational operating conditions.

Materials and Methods

Materials and Methods: The model was formulated as a system of differential equations describing heat conduction, moisture diffusion, and the kinetics of structural transformations within the particle. Numerical simulations were performed in Python (PyCharm environment) using the SciPy, NumPy, and Matplotlib libraries. Calculations were carried out for a single milk droplet under different specific heat input levels ranging from 0.000156 to 0.000273 J over a treatment time of 120 s. Structural and morphological changes were incorporated through a correction coefficient, K₁.

Results

Results: The model generated temperature and moisture profiles as functions of energy input. Increasing the heat input raised the droplet surface temperature from 331 to 360 K, but did not result in a proportional increase in drying intensity. In all tested regimes, the final moisture content remained within a narrow range of 4.9-5.1%. Incorporation of the structural coefficient K₁ made it possible to adequately describe the reduction in moisture diffusivity at the final stage of drying associated with crust formation at the particle surface.

Conclusion

Conclusion: Higher energy input levels appear unjustified from an energy-efficiency perspective, as they may impose excessive thermal stress without providing a substantial increase in drying rate. The proposed model can be used to optimize spray-drying conditions, support dryer design, and develop digital twins of dehydration processes for food emulsions and suspensions.

математическое моделированиетепловые и массообменные процессыраспылительная сушка молокамоделирование в среде Pythonконвективно-радиационный энергоподводmathematical modelingheat and mass transfermilk spray dryingPython-based simulationconvective-radiative heatingReferencesАлексанян, И. Ю., Максименко, Ю. А., Губа, О. Е. (2014). Исследование кинетики и совершенствование процесса распылительной сушки меланжа. Технологии пищевой и перерабатывающей промышленности АПК - продукты здорового питания, (3), 43–47.Kasyanov, G. I., Gritskikh, V. A., Semenov, G. V., and Troyanova, T. L. (2020). Food Production Technologies. Drying of Raw Materials: Study Guide (In Russ.).Алексанян, И.Ю., Максименко, Ю.А., Феклунова, Ю.С., Пшеничная Н.Э. (2015). Конвективно-радиационная распылительная сушилка для жидких и пастообразных пищевых материалов. Технологии пищевой и перерабатывающей промышленности АПК - продукты здорового питания, 3(7), 57–61.Kharkov, V. V., Lavrova, K. Z. (2025). Numerical study of the spray drying process of milk. Vestnik MGTU, 28 (2), 263–272. (In Russ.).Губа, О.Е., Максименко, Ю.А. (2014). Исследование кинетики процесса распылительной сушки меланжа. Вестник АГТУ, 2 (58), 92–96.Miroshnichenko, G. P., and Meshkovsky, I. K. (2022). Mathematical Physics for Engineers. Textbook (In Russ.).Максименко, Ю.А., Феклунова, Ю.С., Пшеничная, Н.Э., Шакесов, Н.М. (2015). Установка конвективно-радиационной распылительной сушки. Естественные и технические науки, 10(88), 352–354.Zaripov, Sh. Kh., Nikonenkova, T. V., Lozhkin, G. I., Gilfanov, A. K., and Kosterina, E. A. (2023). Mathematical Models of Population Dynamics: Implementation in Python: A Tutorial (In Russ.).Максименко, Ю.А., Теличкина, Э.Р., Теличкин, Р.С. (2018). Анализ эффективности работы распылительных сушилок при обезвоживании растительных материалов. Технологии пищевой и перерабатывающей промышленности АПК - продукты здорового питания, 3(23), 55–62.Aleksanyan, I. Yu., Maksimenko, Yu. A., and Guba, O. E. (2014). Study of the kinetics and improvement of the spray drying process of melange. Tekhnologii pishchevoi i pererabativayushchei promishlennosti APK - produkti zdorovogo pitaniya, (3), 43-47. (In Russ.).Харьков, В. В., Лаврова, К. З. (2025). Численное исследование процесса распылительной сушки молока. Вестник МГТУ, 28(2), 263–272. https://doi.org/10.21443/1560-9278-2025-28-2-263-272Maksimenko, Yu.A., Telichkina, E.R., Telichkin, R.S. (2018). Analysis of the efficiency of spray dryers in the dehydration of plant materials. Tekhnologii pishchevoi i pererabativayushchei promishlennosti APK - produkti zdorovogo pitaniya, 3 (23), 55-62. (In Russ.).Дантас А., Пьелла-Рифа М., Понтес Коста Д., Фелипе Х. Гоу П. (2024). Инновации в технологии распылительной сушки для производства жидких пищевых продуктов: дизайн, механизмы и возможности применения. Прикладные исследования в области пищевых продуктов, 4(1). https://doi.org/10.1016/j.afres.2023.100382Guba, O.E., Maksimenko, Yu.A. (2014). Study of the kinetics of the spray drying process of melange. Vestnik AGTU, 2 (58), 92-96. (In Russ.).Pshenichnaya, N.E., Shakesov, N.M. (2015). Installation of convective radiation spray drying. Natural and technical sciences, 10 (88), 352–354.Maksimenko, Yu.A., Feklunova, Yu.S., Pshenichnaya, N.E., Shakesov, N.M. (2015). Installation of Convective-Radiative Spray Drying. Yestestvennie i tekhnicheskie nauki, 10 (88), 352-354.Пшеничная, Н. Е., Шакесов, Н.М. (2015). Установка конвективной радиационно-распылительной сушки. Естественные и технические науки, 10 (88), 352–354.Aleksanyan, I.Yu., Maksimenko, Yu.A., Feklunova, Yu.S., Pshenichnaya N.E. (2015). Convective-radiative spray dryer for liquid and pasty food materials. Tekhnologii pishchevoi i pererabativayushchei promishlennosti APK - produkti zdorovogo pitaniya, 3(7), 57-61. (In Russ.).Alamilla-Beltrán, L., Chanona-Pérez, J.J., Jiménez-Aparicio, A.R., Gutiérrez-López, G.F. (2005). Description of morphological changes of particles along spray drying. Journal of Food Engineering, 67, 179–184.Oreshina, M.N. (2019). Mathematical Foundations of Innovative Technologies in the Processing Industries of the Agro-Industrial Complex. Monograph (In Russ.).Jakkamsetty, C., Subramanian, P., Rashidinejad, A. (2024). Spray drying of milk and milk products. Spray Drying for the Food Industry, 4, 87–123. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-819799-8.00002-8Dantas, A., Piella-Rifa, M., Pontes Costa, D., Felipe, X. [et al.]. (2024). Innovations in spray drying technology for liquid food processing: Design, mechanisms, and potential for application. Applied Food Research, 4 . DOI: https://doi.org/10.1016/j.afres.2023.100382.Langrish, T. A. G., Kockel, T. K. (2001). The assessment of a characteristic drying curve for milk powder for use in computational fluid dynamics modelling. Chemical Engineering Journal, 84, 69–74. https://doi.org/10.1016/S1385-8947(00)00384-3Jakkamsetty, C., Subramanian, P., Rashidinejad, A. (2024). Spray drying of milk and milk products. In Spray drying for the food industry, 4, 87–123. DOI: https://doi.org/10.1016/B978-0-12-819799-8.00002-8.Langrish, T.A.G., Kota K., A comparison of collision kernels for sprays from one and two-nozzle atomisation systems. (2007). Chemical Engineering Journal, 126, 131–138. https://doi.org/10.1016/j.cej.2006.07.015Langrish, T. A. G., Kockel, T. K. (2001). The assessment of a characteristic drying curve for milk powder for use in computational fluid dynamics modelling. Chemical Engineering Journal, 84, 69–74. DOI: https://doi.org/10.1016/S1385-8947(00)00384-3.Langrish, T.A.G., Multi-scale mathematical modelling of spray dryers. (2009). Journal of Food Engineering , 93, 218–228. https://doi.org/10.1016/j.jfoodeng.2009.01.019Muehlhoff, E., Bennett, McMahon, A.D. (2013). Milk and dairy products in human nutrition.Langrish, T.A.G., Williams, J., Fletcher, D.F. (2004). Simulation of the effects of inlet swirl on gas flow patterns in a pilot-scale spray dryer. Chemical Engineering Research and Design, 82, 821–833. https://doi.org/10.1205/0263876041596661Mohammed, F. (2003) A new approach to modelling of single droplet drying. Chemical Engineering Science, 58, 2985–2993. DOI: https://doi.org/10.1016/S0009-2509(03)00161-1.Li, X., Zbicinski, I. (2005). A sensitivity study on CFD modeling of cocurrent spray-drying process. Drying Technology, 23, 1681–1691. https://doi.org/10.1081/DRT-200065093Poozesh, S., Lu K., Marsac, P. J. (2018). On the particle formation in spray drying process for bio-pharmaceutical applications: Interrogating a new model via computational fluid dynamics. International Journal of Heat and Mass Transfer, 122, 863–876. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2018.02.043.Li, Z., Kobayashi, N. (2005). Determination of moisture diffusivity by thermo-gravimetric analysis under non-isothermal condition. Drying Technology, 23, 1331–1342. https://doi.org/10.1081/DRT-200059523117997Pugliese, A., Cabassi, G., Chiavaro, E., Paciulli, M. [et al.]. (2017). Physical characterization of whole and skim dried milk powders. Journal of Food Science and Technology, 54, 3433–3442. DOI: https://doi.org/ 10.1007/s13197-017-2795-1.Lin S.X.Q., Chen X.D. (2006), A model for drying of an aqueous lactose droplet using the reaction engineering approach. Drying Technology, 24, 1329–1334. https://doi.org/10.1080/07373930600951091Putranto, A., Chen, X. D. (2016). The relative activation energy of food materials: Important parameters to describe drying kinetics. International Journal of Food Properties, 19 (8), 1726–1737. DOI: https://doi.org/10.1080/10942912.2014.999863.Mohammed, F. (2003) A new approach to modelling of single droplet drying. Chemical Engineering Science, 58, 2985–2993. https://doi.org/10.1016/S0009-2509(03)00161-1Schmitz-Schug, I., Kulozik, U., Foerst, P. (2016). Modeling spray drying of dairy products – Impact of drying kinetics, reaction kinetics and spray drying conditions on lysine loss. Chemical Engineering Science, 141, 315–329. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ces.2015.11.008.Poozesh, S., Lu K., Marsac, P. J. (2018). On the particle formation in spray drying process for bio-pharmaceutical applications: Interrogating a new model via computational fluid dynamics. International Journal of Heat and Mass Transfer, 122, 863–876. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2018.02.043.Woo, M. W., Daud, W. R. W., Mujumdar, A. S., Talib, M. Z. M. [et al.]. (2008). Comparative study of droplet drying models for CFD modelling. Chemical Engineering Research and Design, 86 (9), 1038–1048. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cherd.2008.04.003.Pugliese, A., Cabassi, G., Chiavaro, E., Paciulli, M., Carini E., Mucchetti G. (2017). Physical characterization of whole and skim dried milk powders. Journal of Food Science and Technology, 54, 3433–3442. https://doi.org/ 10.1007/s13197-017-2795-1Zhang X., Chen X., Xu Y., Yang J. [et al.]. (2021). Milk consumption and multiple health outcomes: umbrella review of systematic reviews and meta-analyses in humans. Nutrition & Metabolism, 18, 7. DOI: https://doi.org/10.1186/s12986-020-00527-yPutranto, A., Chen, X. D. (2016). The relative activation energy of food materials: Important parameters to describe drying kinetics. International Journal of Food Properties, 19(8), 1726–1737. https://doi.org/10.1080/10942912.2014.999863Alamilla-Beltrán, L., Chanona-Pérez, J.J., Jiménez-Aparicio, A.R., Gutiérrez-López, G.F. (2005). Description of morphological changes of particles along spray drying, J, Food Eng., 67, 179–184.Schmitz-Schug, I., Kulozik, U., Foerst, P. (2016). Modeling spray drying of dairy products – Impact of drying kinetics, reaction kinetics and spray drying conditions on lysine loss. Chemical Engineering Science, 141, 315–329. https://doi.org/10.1016/j.ces.2015.11.008Langrish, T.A.G., Multi-scale mathematical modelling of spray dryers, J. (2009). Food Eng, 93, 218–228. DOI: //doi.org/10.1016/j.jfoodeng.2009.01.019Woo, M. W., Daud, W. R. W., Mujumdar, A. S., Talib, M. Z. M., Hua, W. Z., Tasirin, S. M. (2008). Comparative study of droplet drying models for CFD modelling. Chemical Engineering Research and Design, 86(9), 1038–1048. https://doi.org/10.1016/j.cherd.2008.04.003Langrish, T.A.G., Kota K., A comparison of collision kernels for sprays from one and two-nozzle atomisation systems. (2007). Chem. Eng., 126, 131–138.Zhang X., Chen X., Xu Y., Yang J., Du L., Li K., Zhou Y. (2021). Milk consumption and multiple health outcomes: umbrella review of systematic reviews and meta-analyses in humans. Nutrition & Metabolism, 18, Article 7. https://doi.org/10.1186/s12986-020-00527-yLangrish, T.A.G., Williams, J., Fletcher, D.F. (2004). Simulation of the effects of inlet swirl on gas flow patterns in a pilot-scale spray dryer. Chem. Eng. Res., 82, 821–833.Li, Z., Kobayashi, N. (2005). Determination of moisture diffusivity by thermo-gravimetric analysis under non-isothermal condition. Dry. Technol, 23, 1331–1342.Li, Z., Kobayashi, N. (2005). Determination of moisture diffusivity by thermo-gravimetric analysis under non-isothermal condition. Dry. Technol, 23, 1331–1342.Li, X., Zbicinski, I. (2005). A sensitivity study on CFD modeling of cocurrent spray-drying process. Dry. Technol, 23, 1681–1691. https://doi.org/10.1081/DRT-200065093Li, X., Zbicinski, I. (2005). A sensitivity study on CFD modeling of cocurrent spray-drying process. Dry. Technol, 23, 1681–1691. https://doi.org/10.1081/DRT-200065093Lin S.X.Q., Chen X.D. (2006), A model for drying of an aqueous lactose droplet using the reaction engineering approach. Dry. Technol, 24, 1329–1334. https://doi.org/10.1080/07373930600951091Lin S.X.Q., Chen X.D. (2006), A model for drying of an aqueous lactose droplet using the reaction engineering approach. Dry. Technol, 24, 1329–1334. https://doi.org/10.1080/07373930600951091Patel K.C., Chen X.D. (2008), Surface-center temperature differences within milk droplets during convective drying and drying-based biot number analysis. AIChE J, 54, 3273–3290.Patel K.C., Chen X.D. (2008), Surface-center temperature differences within milk droplets during convective drying and drying-based biot number analysis. AIChE J, 54, 3273–3290.Patel K.C., Chen X.D. (2005), Kar S., The temperature uniformity during air drying of a colloidal liquid droplet. Dry. Technol, 23, 2337–2367.Patel K.C., Chen X.D. (2005), Kar S., The temperature uniformity during air drying of a colloidal liquid droplet. Dry. Technol, 23, 2337–2367.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.